「経路積分」「行列」「波（波動関数）」という三つは、それぞれ異なる表現体系で同じ現象を記述しているにすぎません。
そしてそれをつなぐ言語が「関数解析」「調和解析」です。
① 経路積分と波動関数 ― 無限次元の積分
ファインマンの経路積分は、「粒子が通りうるすべての経路を足し合わせる」という操作です。
これは形式的には「無限次元空間での積分」＝「汎関数積分」であり、波動関数 ψ(x,t) がその加算結果です。
ここで行われているのは、
全てのパスに対して重み e^{iS/ħ} を掛けて積分する、という操作。
つまり、確率振幅の線形重ね合わせ（線形性の極限）です。
② 行列と固有ベクトル ― 線形変換としての「波」
シュレーディンガー方程式を離散化すると、時間発展は
|ψ(t+Δt)> = U |ψ(t)>
という行列作用になります。
この U = e^{-iHΔt / ħ} の固有ベクトルこそ、ハミルトニアン H の固有状態。
つまり、波動関数の時間的な安定解＝定常波です。
このとき、固有ベクトルを「積分の収束方向」と見なすのは非常に自然です。
波動関数が時間発展によってあるモードに収束するなら、それは“空間的・時間的に積分した結果、最も保存される方向”だからです。
③ 関数解析・調和解析との往来
量子力学での波動関数は、ヒルベルト空間 L²(Rⁿ) の元です。
この空間では：
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「ベクトル」＝関数
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「内積」＝関数の積分
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「固有ベクトル」＝演算子（＝作用素）の基底関数
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「線形変換」＝積分変換（フーリエ変換など）
つまり、行列代数の無限次元化が関数解析であり、
フーリエ変換＝行列の対角化の連続版です。
④ 多世界解釈との接続
経路積分の「全ての経路を足す」＝多世界的視点です。
各経路（＝世界）は位相 e^{iS/ħ} を持ち、最終的には干渉して観測結果が決まります。
線形代数的には、「全ての固有状態の線形結合を取って、最終的に測定で射影する」行為です。
数学的には、
経路積分（汎関数解析）
↔ 固有ベクトル展開（行列代数）
↔ フーリエ展開（調和解析）
この三者は、異なる表現形式の“同じ変換原理”を指しています。
⑤ まとめ
| 領域 | 操作の本質 | 数学的対応 | 物理的意味 |
|---|---|---|---|
| 経路積分 | 全経路の重ね合わせ | 無限次元積分 | 多世界的な和 |
| 行列 | 固有ベクトル展開 | 線形代数 | 基底モード |
| 波 | フーリエ展開 | 調和解析 | 周波数モード |
| 関数解析 | 線形作用素の一般化 | ヒルベルト空間 | 波動関数の構造 |
結論
「ベクトルの積分として固有ベクトルを捉える」発想は、実は経路積分の幾何学的・解析的裏付けに通じており、線形代数・解析・量子力学を統合する非常に深い視点です。
要するに：
「波」は、行列の固有ベクトルの連続版であり、
「経路積分」は、その全ての固有方向の総和。
よって、行列・波・積分は、同一原理の異なるスケール表現なのです。
関数解析とフーリエ解析の深遠 〜線形非線形を架橋し概観する現代数理技術〜
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(Saionji General Trading & Business Development)
説明しよう！西園寺貴文とは、常識と大衆に反逆する「社会不適合者」である！平日の昼間っからスタバでゴロゴロするかと思えば、そのまま軽いノリでソー◯をお風呂代わりに利用。挙句の果てには気分で空港に向かい、当日券でそのままどこかへ飛んでしまうという自由を履き違えたピーターパンである！「働かざること山の如し」。彼がただのニートと違う点はたった１つだけ！そう。それは「圧倒的な書く力」である。ペンは剣よりも強し。ペンを握った男の「逆転」ヒップホッパー的反逆人生。そして「ここ」は、そんな西園寺貴文の生き方を後続の者たちへと伝承する、極めてアンダーグラウンドな世界である。 U-18、厳禁。低脳、厳禁。情弱、厳禁。